Question

【題目】（1）如圖1，在中，，，平分.

求證：.

小明為解決上面的問題作了如下思考：

作關于直線的對稱圖形，∵平分，∴點落在上，且，.因此，要證的問題轉化為只要證出即可.

請根據小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.

（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：

如圖3，在四邊形中，平分，，，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）21.

【解析】

（1）只需要證明，再根據等角對等邊即可證明,再結合小明的分析即可證明；

（2）作△ADC關于AC的對稱圖形,過點C作CE⊥AB于點E，則=BE．設=BE=x．在Rt△CEB和Rt△CEA中，根據勾股定理構建方程即可解決問題.

解：（1）證明：如下圖，作△ADC關于CD的對稱圖形△A′DC，

∴A′D=AD，CA′=CA，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴A′點落在CB上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，

∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，

∴A′D=A′B，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.

（2）如圖，作△ADC關于AC的對稱圖形△AD′C．

∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC平分∠BAD，

∴D′點落在AB上，
∵BC=10，

∴D′C=BC，
過點C作CE⊥AB于點E，則D′E=BE，
設D′E=BE=x，
在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，
在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．
∴102-x2=172-（9+x）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．