Question

【題目】在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（AC＞AB），在邊AC上取一點D，使得BD=CD，點E、F分別是線段BC、BD的中點，連接AF和EF，作∠FEM=∠FDC，交AC于點M，如圖1所示.

（1）請判斷四邊形EFDM是什么特殊的四邊形，并證明你的結論；

（2）將∠FEM繞點E順時針旋轉到∠GEN，交線段AF于點G，交AC于點N，如圖2所示，請證明：EG=EN；

（3）在第（2）條件下，若點G是AF中點，且∠C=30°，AB=3，如圖3，求GE的長度.

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）先判斷出DF∥EM，進而判斷出EF∥CD，得出四邊形DFEM是平行四邊形，再判斷出DF=DM，即可得出結論；
（2）先判斷出∠FEG=∠MEN，進而判斷出∠DAF=∠ADF，即可得出∠AFE=∠CDF，進而得出∠AFE=∠CME，進而判斷出△EFG≌△EMN（AAS），即可得出結論；

（3）先求出BC=4，進而求出CE=2，BD=，CD=，進而求出FG=AF=,即可求出MN=FG=，再求出EF=CD=，進而得出CN=，即可求出EH=CN=，CH=EH=，進而得出EH=CE-CH=，最后用勾股定理即可得出結論．

菱形，理由如下：

∵E，F分別是BC，CD中點.

∴FB＝FD，，

∴，

又，

∴，

∴∴,M為DC中點.

又DB＝DC，

，

∴，

∴菱形FEMD，

（2）如圖，

由旋轉知，∠FEM=∠GEN，

∴∠FEG=∠MEN，

在Rt△ABD中，點F是BD中點，

∴AF=DF，

∴∠DAF=∠ADF，

∵EF∥CD，

∴∠ADF=∠DFE，

∴∠DAF=∠DFE，

∴∠AFE=∠AFD+∠EFD=∠AFD+∠ADF=∠CDF，

∵EM∥BD，

∴∠CDF=∠EMN，

∴∠AFE=∠CME，

由（1）知，四邊形DFEM是菱形，

∴EF=EM，

∴△EFG≌△EMN（AAS），

∴EG=EN；

（3）如圖，

在Rt△ABC中，∠C=30°，AB=2，

∴BC=4，∠ABC=60°，

∵點E是BC的中點，

∴CE=2，

∵BD=CD，

∴∠CBD=∠C=30°，

∴∠ABD=30°，

∴BD=，

∴CD=，AF=BD=，

∵G是AF的中點，

∴FG=AF=，

∵△EFG≌△EMN（AAS），

∴EG=EN，MN=FG=，

∵E，F是BC，BD的中點，

∴EF=CD=，

∴DM=EF=，

∴CN=CD-DM-MN=

過點N作NH⊥BC于H

∴EH=CN=，CH=EH=，

∴EH=CE-CH=，

在Rt△ENH中，EN=，

∴EG=．