Question

幾何基礎問題
小明遇到這樣一道題：如圖，已知OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，射線OP在∠AOC內部，若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應滿足什么條件？聰明的小明想到用具體角度入手來解決這個問題．他假設∠AOB=70°，∠BOC=50°；不久他就解決了這個問題．
（1）在小明的假設下（∠AOB=70°，∠BOC=50°；）請你算一算∠MON是多少度？與∠AOC有什么關系？
（2）如果∠AOB、∠BOC的度數發生了變化，∠MON與∠AOC的關系將如何變化？
（3）若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應滿足什么條件？

Answer 1

（1）∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，
∴∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=

1

2

∠AOC，
∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，
∴∠AOC=70°+50°=120°，∠MON=

1

2

×120°=60°；
答：∠MON是60度，等于∠AOC的一半；
（2））∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，
∴∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=

1

2

∠AOC，
答：如果∠AOB、∠BOC的度數發生了變化，∠MON仍然等于∠AOC的一半；
（3）∵∠MON=

1

2

∠AOC，
∴當OP平分∠AOC時，∠AOP與∠MON相等．