Question

【題目】如圖，四邊形ADBC內接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直線BD于E．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若CD為直徑，tan∠ADE=2，求sin∠BDC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）連接AB，連接AO并延長交BC于F，由圓內接四邊形的性質得出∠ADE=∠ACB，再由圓周角定理證出∠ABC=∠ACB，得出AB=AC，得出AF⊥BC，證出AE⊥AF即可得出結論；

（2）連接AO并延長交BC于G，由圓周角定理得出∠DAC=∠CBD=90°，證出四邊形AEBG是矩形，得出BG=AE，AG=BE，由三角函數得出AE=2DE，AC=2AD，AG=2CG=BC=2AE=4DE，得出AD=DE，CD=AD=5DE，即可得出結果．

（1）證明：連接AB，連接AO并延長交BC于F，如圖1所示：

∵四邊形ADBC內接于⊙O，AD平分∠EDC，

∴∠ADE=∠ACB，∠ADE=∠ADC，

∵∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴AF⊥BC

∵AE∥BC，

∴AE⊥AF，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：連接AO并延長交BC于G，如圖2所示：

∵CD為直徑，

∴∠DAC=∠CBD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠E+∠CBD=90°，

∴∠E=90°，

∴四邊形AEBG是矩形，

∴BG=AE，AG=BE，

∵∠ADE=∠ADC=∠ACB，

∴，

∴AE=2DE，AC=2AD，AG=2CG=BC=2AE=4DE，

∴AD=DE，CD=AD=5DE，

∴．