Question

【題目】已知⊙O中，弦AB=AC，點P是∠BAC所對弧上一動點，連接PB、PA．

（Ⅰ）如圖①，把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，求證：點P、C、Q三點在同一直線上．

（Ⅱ）如圖②，若∠BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關系．

（Ⅲ）若∠BAC=120°時，（2）中的結論是否成立？若是，請證明；若不是，請直接寫出它們之間的數量關系，不需證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）PA=PC+CQ=PC+PB；（Ⅲ）PB+PC=2×PA=PA．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結PC，如圖①，根據旋轉的性質得∠ABP=∠ACQ，再根據圓內接四邊形的性質得∠ABP+∠ACP=180°，則∠ACQ+∠ACP=180°，于是可判斷點P、C、Q三點在同一直線上；

（Ⅱ）把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，如圖②，則由①得點P、C、Q三點在同一直線上，根據旋轉的性質得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，而∠BAP+∠PAC=60°，則∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，于是可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=PA=PB+PC；

（Ⅲ）把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，如圖③，由①得點P、C、Q三點在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，由∠BAP+∠PAC=120°，得到∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，可計算出∠P=∠Q=30°，作AH⊥PQ，根據等腰三角形的性質得PH=QH，在Rt△APH中，利用余弦的定義得cos∠APH=cos30°==，則PH=PA，由于PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，所以得到PB+PC=PA．

（Ⅰ）證明：連結PC，如圖①，

∵把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，

∴∠ABP=∠ACQ，

∵四邊形ABPC為⊙O的內接四邊形，

∴∠ABP+∠ACP=180°，

∴∠ACQ+∠ACP=180°，

∴點P、C、Q三點在同一直線上；

（Ⅱ）解：PA=PB+PC．理由如下：

把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，如圖②，

由①得點P、C、Q三點在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，

而∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，

∴△APQ為等邊三角形，

∴PQ=PA，

∴PA=PC+CQ=PC+PB；

（Ⅲ）（2）中的結論不成立，PA、PB、PC之間的關系為PA=PB+PC．理由如下：

把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，如圖③，

由①得點P、C、Q三點在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，

而∠BAC=120°，即∠BAP+∠PAC=120°，

∴∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，

∴∠P=∠Q=30°，

作AH⊥PQ，則PH=QH，

在Rt△APH中，cos∠APH=cos30°==，

∴PH=PA，

而PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，

∴PB+PC=2×PA=PA．