Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=﹣ +bx+c的圖象經過點A（1，0），且當x=0和x=5時所對應的函數值相等．一次函數y=﹣x+3與二次函數y=﹣ +bx+c的圖象分別交于B，C兩點，點B在第一象限．

（1）求二次函數y=﹣ +bx+c的表達式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點，將點B繞點M旋轉180°得到點N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=c，即（0，c）．

由當x=0和x=5時所對應的函數值相等，得（5，c）．

將（5，c）（1，0）代入函數解析式，得

，

解得 ．

故拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：聯立拋物線與直線，得

，

解得 ， ，

即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得

AB= =

（3）

解：如圖：

，

四邊形ABCN是平行四邊形，

證明：∵M是AC的中點，

∴AM=CM．

∵點B繞點M旋轉180°得到點N，

∴BM=MN，

∴四邊形ABCN是平行四邊形

【解析】（1）根據當x=0和x=5時所對應的函數值相等，可得（5，c），根據待定系數法，可得函數解析式；（2）聯立拋物線與直線，可得方程組，根據解方程組，可得B、C點坐標，根據勾股定理，可得AB的長；（3）根據線段中點的性質，可得M點的坐標，根據旋轉的性質，可得MN與BM的關系，根據平行四邊形的判定，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．