Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標系中，圖形 W在坐標軸上的投影長度定義如下：設點 P( , ) ，Q( , ) 是圖形 W 上的任意兩點，若的最大值為 m ，則

圖形 W 在 x 軸上的投影長度為 lx m ；若的最大值為 n ，則圖形 W 在 y 軸上的

投影長度為 ly n ．如圖 1，圖形 W 在 x 軸上的投影長度為 lx 4 ；在 y 軸上的 投影長度為 ly 3 ．

（1）已知點 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如圖 2 所示，若圖形 W 為四邊形 OABC ，

則 lx ， ly ；

（2）已知點 C (, 0) ，點 D 在直線 y x 1(x 0) 上，若圖形 W 為 OCD ，當 lx ly

時，求點 D 的坐標；

（3 ）若圖形 W 為函數 y x 2(a x b) 的圖象，其中 (0 a b) ，當該圖形滿足

lx ly 1時，請直接寫出 a 的取值范圍．

圖 1 圖 2

Answer 1

【答案】（1）4,3;(2)（-，）或（-10，-14）;(3) .

【解析】

（1）確定出點A在y軸的投影的坐標、點B在x軸上投影的坐標，于是可求得問題的答案；
（2）過點P作PD⊥x軸，垂足為P．設D（x，2x+6），則PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依據lx=ly，列方程求解即可；
（3）設A（a，a2）、B（b，b2）．分別求得圖形在y軸和x軸上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根據0≤a＜b可求得a的取值范圍．

解：（1）∵A（3，3），
∴點A在y軸上的正投影的坐標為（0，3）．
∴△OAB在y軸上的投影長度ly=3．
∵B（4，1），
∴點B在x軸上的正投影的坐標為（4，0）．
∴△OAB在x軸上的投影長度lx=4．
故答案為：4；3．
（2）如圖1所示；過點P作PD⊥x軸，垂足為P．

設D（x，2x+6），則PD=2x+6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴2x+6=4-x，解得；x=-．
∴D（-，）．
如圖2所示：過點D作DP⊥x軸，垂足為P．

設D（x，2x+6），則PD=-2x-6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵lx=ly，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
綜上所述，點D的坐標為（-，）或（-10，-14）．
（3）如圖3所示：

設A（a，a2）、B（b，b2）．則CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．
∵lx=ly，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜.