Question

【題目】已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中AB=AC，AD=AE，

∠BAC=90°，∠DAE=90°．

(1)觀察猜想

如圖1，連接BE、CD交于點(diǎn)H，再連接CE，那么BE和CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是

(2)探究證明

將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，分別取BC、CE、DE的中點(diǎn)P、Ｍ、Q，連接MP、PQ、MQ，請(qǐng)判斷ＭP和MQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3)拓展延伸

已知AB=，AD=4，在（2）的條件下，將△ABC繞點(diǎn)A旅轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若∠CAE=45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD；（2）MP=MQ，MP⊥MQ，理由見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】

（1）由三角形中位線(xiàn)定理得出 ,可得出∠MHE=∠CAE,∠CGM=∠CAE,證明三角形全等，得到BM=DM，證明,即可得到結(jié)論。

（2）證出BM=DN,,再證明,即可得出結(jié)論
（3）分兩種情況：根據(jù)兩種情況的角度不同可以分類(lèi)計(jì)算

（1）BE=CD，BE⊥CD，提示：證明△ABE≌△ACD；

（2）MP=MQ，MP⊥MQ，

提示：MP是△BCE的中位線(xiàn)，MQ是△ECD的中位線(xiàn)，

可證：△ACD≌△ABE，

得到BE=CD，BE⊥CD，進(jìn)而得到結(jié)論．

（3）或．

提示:

如圖，延長(zhǎng)BA交DE于H，此時(shí)∠EAH=45°，即AH⊥DE，

∴EH=AH==，BH=，由勾股定理得：BE=，

∴

如圖，設(shè)BC交AE于點(diǎn)H，則BC⊥AE，

AH=BH=1，EH=3，BE=，

∴．