Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過點B作∠CBE=∠A，BE與射線CA相交于點E，與射線CD相交于點F．

（1）如圖，當點E在線段CA上時，求證：BE⊥CD；

（2）若BE=CD，那么線段AC與BC之間具有怎樣的數量關系？并證明你所得到的結論；

（3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=2BC；（3）22.5°或67.5°．

【解析】

（1）根據角之間的等量關系及中點的特點即可得出答案；

（2）根據題意易證△BCE∽△ACB，根據相似三角形比例關系即可得出結論；

（3）分①點E在線段CA上時；②點E在線段CA延長線上討論求解．

（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴CD=AD，∴∠A=∠DCA．

∵∠CBE=∠A，∴∠DCA=∠CBE．

∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠BEC+∠DCA =90°，∴BE⊥CD；

（2）線段AC與BC之間的數量關系是：AC=2BC．

∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴．

∵BE=CD，，∴，∴AC=2BC．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45°．

①當點E在線段CA上時，如圖1，∠A∠BDF=22.5°；

②當點E在線段CA延長線上時，如圖2，∠CDA=∠BDF=45°，∠BAC．

綜上所述：∠BAC的度數為22.5°或67.5°．