Question

【題目】已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，

（1）如圖：P為AD上的一點，滿足；

① ；

② 求AP的長

（2）如果點P在AD上移動（點P與點A、D不重合），且滿足，PE交直線與BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么

① 當點Q在線段DC的延長線上時，設AP = x，CQ = y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

② 當CE = 1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）

Answer 1

【答案】（1）① 見解析；② AP的長為1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的長為2．

【解析】

（1）①當∠BPC＝∠A時，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似．

②利用相似三角形的性質可得出關于AP，PD，AB，CD的比例關系式，AB，CD的值題中已經告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關系式中求出AP的長．

（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關于AB，AP，PD，DQ的比例關系式，得出x，y的函數關系式．

②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據CE的長，用AP表示出PD，然后根據PD，DQ，QC，CE的比例關系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．

（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．

∴∠A＝∠D

∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A

∴∠ABP＝∠DPC，

∴△ABP∽△DPC．

②∵△ABP∽△DPC，

∴，即：，

解得：AP＝1或AP＝4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ

∴，即：，

∴y＝x2＋x2（1＜x＜4）．

②當CE＝1時，

∵△PDQ∽△ECQ，

∴，即或，

∵y＝x2＋x2，

解得：x＝2或3，

∴PA＝2或3．