Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣11ax+24a交x軸于C，D兩點，交y軸于點B（0，），過拋物線的頂點A作x軸的垂線AE，垂足為點E，作直線BE．

（1）求直線BE的解析式；

（2）點H為第一象限內直線AE上的一點，連接CH，取CH的中點K，作射線DK交拋物線于點P，設線段EH的長為m，點P的橫坐標為n，求n與m之間的函數關系式．（不要求寫出自變量m的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，在線段BE上有一點Q，連接QH，QC，線段QH交線段PD于點F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°∠FDO，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）yx；（2）nm+3；（3）或

【解析】

（1）根據拋物線可得對稱軸，可知點E的坐標，利用待定系數法可得一次函數BE的解析式；

（2）如圖1，作輔助線，構建直角三角形，根據拋物線過點B（0，），可得a的值，計算y＝0時，x的值可得C和D兩點的坐標，從而知CD的值，根據P的橫坐標可表示其縱坐標，根據tan∠PDM，

tan∠KDN，相等列方程為，可得結論；

（3）如圖2，延長HF交x軸于T，先根據已知得∠FDO＝∠FTO，由等角的三角函數相等和（2）中的結論得：tan∠FDO＝tan∠FTO，則，可得ET和CT的長，令∠FDO＝∠FTO＝2α，表示角可得∠TCQ＝∠TQC，則TQ＝CT＝5，

設Q的坐標為（t，t），根據定理列方程可得：TS2+QS2＝TQ2，（2+t）2+（）2＝52，解得t1，t2＝1；根據兩個t的值分別求n的值即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣11ax+24a，

∴對稱軸是：x，

∴E（，0），

∵B（0，），

設直線BE的解析式為：y＝kx+b，

則，解得：，

∴直線BE的解析式為：yx；

（2）如圖1，過K作KN⊥x軸于N，過P作PM⊥x軸于M，

∵拋物線y＝ax2﹣11ax+24a交y軸于點B（0，），

∴24a，

∴a，

∴yx2x（x﹣3）（x﹣8），

∴當y＝0時，（x﹣3）（x﹣8）＝0，

解得：x＝3或8，

∴C（3，0），D（8，0），

∴OC＝3，OD＝8，

∴CD＝5，CE＝DE，

∴P點在拋物線上，

∴P[n，（n﹣3）（n﹣8）]，

∴PM（n﹣3）（n﹣8），DM＝8﹣n，

∴tan∠PDM，

∵AE⊥x軸，

∴∠KNC＝∠HEC＝90°，

∴KN∥EH，

∴1，

∴CN＝ENCE，

∴KNm，ND，

在△KDN中，tan∠KDN中，tan∠KDN，

∴，

nm+3；

（3）如圖2，延長HF交x軸于T，

∵∠HFD＝2∠FDO，∠HFD＝∠FDO+∠FTO，

∴∠FDO＝∠FTO，

∴tan∠FDO＝tan∠FTO，

在Rt△HTE中，tan∠FTO，

∴，

∴ET，

∴CT＝5，

令∠FDO＝∠FTO＝2α，

∴∠HQC＝90°，

∴∠TQC＝180°﹣∠HQC＝90°﹣α，∠TCQ＝180°﹣∠HTC﹣∠TQC＝90°﹣α，

∴∠TCQ＝∠TQC，

∴TQ＝CT＝5，

∵點Q在直線yx上，

∴可設Q的坐標為（t，t），

過Q作QS⊥x軸于S，則QSt，TS＝2+t，

在Rt△TQS中，TS2+QS2＝TQ2，

∴（2+t）2+（）2＝52，

解得t1，t2＝1；

①當t時，QS，TS，

在Rt△QTH中，tan∠QTS，

∴，m，

∴n3，

②當t＝1時，QS＝4，TS＝3，

在Rt△QTH中，tan∠QTS，

∴，

m＝10，

∴n3．