Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）

【解析】

分類討論：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽Rt△ABC，計(jì)算出AB、AC，則可利用比例式計(jì)算出AP，于是可得到OP的長(zhǎng)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，

由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得P為OB的中點(diǎn)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，

由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得P為OA的中點(diǎn)，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；

當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，

∵∠CAP＝∠OAB，

∴Rt△APC∽Rt△ABO，

∴，

∵點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），

∴AB＝＝10，

∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

∴AC＝5，

∴，

∴AP＝ ，

∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）、（4，0）、（，0）．

故答案為：（0，3）、（4，0）、（，0）