Question

【題目】如圖，以點O為圓心，OE為半徑作優弧EF，連接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取點A，B（點B在點A的順時針方向）且使AB＝2，以AB為邊向弧內作正三角形ABC．

（1）發現：不論點A在弧上什么位置，點C與點O的距離不變，點C與點O的距離是　 　；點C到直線EF的最大距離是　 　．

（2）思考：當點B在直線OE上時，求點C到OE的距離，在備用圖1中畫出示意圖，并寫出計算過程．

（3）探究：當BC與OE垂直或平行時，直接寫出點C到OE的距離．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）示意圖見解析，點C到OE的距離為；（3）當BC與OE垂直或平行時，點C到OE的距離為或．

【解析】

（1）連接OB,OA,再連接OC并延長交AB于點G, 易知GO為線段AB的垂直平分線，通過勾股定理分別計算CG,GO的長，得到CO=GO-CG為定值即可；延長CO交EF于點H，當CO⊥EF時，點C到直線EF的距離最大，最大距離為CH的長，且CH=CO+OH,只需計算OH即可求出最大距離CH的長；

（2）過點C作OE的垂線，垂足為M，易證△OCM∽△OBG，得到，從而得到CM的長，即為點C到OE的距離；

（3）因為OC長不變，已求得，當BC與OE垂直或平行時，過點C作OE的垂線，利用OC不變，通過解相應的直角三角形，得到點C到OE的距離.

解：（1）如圖1，連接OA、OB、OC，延長OC交AB于點G，

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝，

在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝，

∴OC＝；

如圖2，延長CO交EF于點H，

當CO⊥EF時，點C到直線EF的距離最大，最大距離為CH的長，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵∠EOF＝120°，

∴∠EOH＝∠EOF＝60°，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO+OH＝，

∴點C到直線EF的最大距離是．

故答案為：；．

（2）如圖3，當點B在直線OE上時，過點C作OE的垂線，垂足為M

由OA＝OB，CA＝CB可知，

點O，C都在線段AB的垂直平分線上，

過點C作AB的垂線，垂足為G，

則G為AB中點，直線CG過點O．

∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO

∴△OCM∽△OBG，

∴，

∴，

∴CM＝，

∴點C到OE的距離為．

（3）如圖4，當BC⊥OE時，設垂足為點M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，

∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝＝，

∴CM＝CO＝（）＝；

如圖5，當BC∥OE時，過點C作CN⊥OE，垂足為N，

∵BC∥OE，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝＝，

∴CN＝CO＝（）＝；

綜上所述，當BC與OE垂直或平行時，點C到OE的距離為或．