Question

【題目】如圖，△ABC的點A，C在⊙O上，⊙O與AB相交于點D，連接CD，∠A＝30°，DC＝．

（1）求圓心O到弦DC的距離；

（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

（1）連接OD，OC，過O作OE⊥OC于E，得到△OCD是等邊三角形，求得OD=OC=CD=，解直角三角形即可得到結論；

（2）由（1）得，△ODC是等邊三角形，求得∠OCD=60°，根據相似三角形的性質得到∠A=∠BCD=30°，求得∠OCB=90°，于是得到BC是⊙O的切線．

解：（1）連接OD，OC，過O作OE⊥OC于E，

∵∠A＝30°，

∴∠DOC＝60°，

∵OD＝OC，CD＝，

∴△OCD是等邊三角形，

∴OD＝OC＝CD＝，

∵OE⊥DC，

∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，

∴OE＝DE＝，

∴圓心O到弦DC的距離為：；

（2）由（1）得，△ODC是等邊三角形，

∴∠OCD＝60°，

∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，

∴∠ACB＝∠CDB，

∵∠B＝∠B，

∴△ACB∽△CDB，

∴∠A＝∠BCD＝30°，

∴∠OCB＝90°，

∴BC是⊙O的切線．