Question

【題目】如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圓，E為⊙O上一點，連結CE，過C作CD⊥CE，交BE于點D，已知，則tan∠ACE＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

解直角三角形得到，根據相似三角形的性質得，設BD=x，AE=2x，由圓周角定理得到∠AEB=90°，根據勾股定理得到AE=2，BE=6，根據三角函數的定義即可得到結論．

解：連接AE，

∵tan∠BAC＝，

∴設AC＝2m，BC＝m，

∴AB＝m＝2，

∴m＝2，

∴AC＝4，BC＝2，

∵∠BEC＝∠BAC，

∴tan∠BEC＝，

∵DE＝5，

同理求得CE＝，CE＝2，

∵∠CED+∠EDC＝∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠EDC＝∠ABC，

∵∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝∠BDC，

∵∠DBC＝∠EAC，

∴△AEC∽△BDC，

∴＝2，

∴設BD＝x，AE＝2x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴AE2+BE2＝AB2，

∴（2x）2+（5+x）2＝（2）2，

∴x＝1（負值舍去），

∴AE＝2，BE＝6，

∴tan∠ACE＝tan∠ABE＝．

故答案為．