Question

如圖①所示，直線：與軸負半軸、軸正半軸分別交于、 兩點．

（1）當時，試確定直線的解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設為延長線上一點，連接，過、兩點分別作于，于，若，，求的長；
（3）當取不同的值時，點在軸正半軸上運動，分別以、為邊在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，連交軸于點，問當點在軸上運動時，試猜想的長是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）直線l的解析式為y=x＋5（2）AM=4（3）

試題分析：解：（1）由題知，k≠0．把x=0代入y=kx＋5k中，得y=5k；把y=0代入y=kx＋5k中，得x=－5．∴A（－5，0），B（0，5k），∵點B在y軸正半軸上，∴5k＞0．即OA=5，OB=5k．
∵OA=OB，∴k=1．∴直線l的解析式為y=x＋5．
（2）法1：由（1）知，k=1，∴OA=5，OB=5．∵BN⊥OQ，AM⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°．
∵BN=3，∴在Rt△BON中，．
∵MN=7，∴OM=3．∴在Rt△AMO中，．
法2：由（1）知，OA=OB．∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°，∴∠3＋∠2=90°．
∵∠AOB=90°，∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△AOM≌△OBN（AAS）．
∴AM=ON，OM=BN=3．∵MN=7∴AM=ON=4
（3）PB長為定值．
法1：如圖，過點E作EC⊥y軸于C，則∵△ABE為等腰直角三角形
∴AB=BE，∠ABE=90°．由（2）法2易證，△AOB≌△BCE（AAS），∴BC=OA=5，CE=OB．
∵△OBF為等腰直角三角形，∴OB=BF，∠OBF=90°．∴BF=CE，∠PBF=∠PCE=90°．
∵∠1=∠2，∴△PBF≌△PCE（AAS），，即PB長為．
法二：由△AOB≌△BCE，可求E（－5k，5k＋5）．∵F（5k，5k），

點評：本題難度較大，主要考查學生對全等三角形及勾股定理等知識點綜合分析能力，注意培養數形結合思想，靈活運用掌握的幾何性質定理，運用到考試考題中去。