Question

【題目】在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是

Answer 1

【答案】（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）
【解析】解：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直線OA：y= x，
聯立拋物線的解析式得： ，
解得： 或 ，
故A（ ，3）；
②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，則直線y= x，聯立拋物線的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P（ ， ），那么A（ ， ）；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y= x，聯立拋物線的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
故P（ ， ），
∴OP= = ，QP= ，
∴OH=OP= ，AH=QP= ，
故A（ ， ）；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線y= x，聯立拋物線的解析式，
得： ，
解得： 或 ，
∴P（ ，3），
∴QP=2，OP=2 ，
∴OH=QP=2，AH=OP=2 ，
故A（2，2 ）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．
故答案為：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．
由于兩三角形的對應邊不能確定，故應分四種情況進行討論：
①∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
②∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線OP：y= x，聯立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論．