Question

、如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在∠MON的邊OM上移動，移動過程中始終保持AB⊥ON于點B,AC⊥OM于點A.∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點.
小題1:點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數量關系,并說明理由.
小題2:點A在移動的過程中,若射線ON上始終存在一點F與點A關于OP所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點的四邊形是怎樣特殊的四邊形？
小題3:若∠MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

小題1:AE=AD
小題2:菱形
小題3:OC = AC+AD

(1) AE=AD                                                   
理由：AC⊥OM
在Rt△AOE中,∠AEO+∠AOE=90⁰
同理：∠ODB+∠DOB=90⁰
又∵∠MON的角平分線OP分別交AB于D點.
∴∠AEO=∠DOB
又∵∠DOB=∠ADE
∴∠AED=∠ADE
∴AE=AD
(2)菱形                                                       
證明： 連接AF交DE于點G,連接DF,EF.
點F與點A關于直線OP對稱可知：AF⊥DE, AE=FE,           
∴AG=FG,
又∵AE=AD
∴DG=EG
∴四邊形ADFE是平行四邊形                               
∵AF⊥DE                                      
∴平行四邊形ADFE是菱形                                  
（3）OC= AC+AD                                             
證明：連接EF.

∵點F與點A關于直線OP對稱,
∴AO=OF
∵AC⊥OM, ∠MON=45°                                 
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°                                             
∴OF =" AO" = AC                                            
由（2）知四邊形ADFE是菱形
∴EF∥AB  AD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC =90°
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF
∴FC =" EF" =AD                                               
又∵OC=OF+FC
∴OC = AC+AD