Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE．下列結論：
①∠ACD=30°；②SABCD=ACBC；③OE：AC= ：6；④S△OCF=2S△OEF
成立的個數有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于點E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；
∵AC⊥BC，
∴SABCD=ACBC，故②正確，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC= BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE= BC，
∴OE：AC= ，
∴OE：AC= ：6；故③正確；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ = ，
∴S△OCF：S△OEF= = ，
∴S△OCF=2S△OEF；故④正確；
故選D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．