Question

【題目】如圖1，拋物線y＝－x2－x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E（4, 0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（－4， 0）B（2， 0）；（2）（1，）,；（3）y＝x－3

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)當(dāng)y=0時(shí)得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′，根據(jù)三角形相似得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了，根據(jù)Rt△EGM得出EM的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出函數(shù)解析式.

試題解析：（1）由函數(shù)解析式可得交點(diǎn)坐標(biāo)為A（－4， 0）B（2， 0）．

（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．

過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′．

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．∴

∴，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

∵AC//BD，AG＝BG，∴HG＝DG．

而D′H＝DH，

∴D′G＝3DG．

∴D′的坐標(biāo)為

（3）過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．

以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了．

連接GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6

∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（－4， 6），過(guò)M1、E的直線l為y＝－x＋3．

根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是y＝x－3．