Question

20．觀察下列式子：（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
（1）根據以上式子，請直接寫出（xⁿ-1）÷（x-1）的結果（n為正整數）；
（2）計算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根據觀察，可發現規律，根據規律，可得答案；
（2）根據規律，可得答案．

解答 解：（1）原式=x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1 
（2）∵（2-1）（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1）=2²⁰¹⁶-1
∴1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．

點評 本題考查了整式的除法，發現規律：（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1是解題關鍵．