Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點．動點P從O點出發，以每秒1個單位的速度，沿著OA、AB、BD運動．設P點運動的時間為t秒（0<t<13）．

（1）寫出△POD的面積S與t之間的函數關系式，并求出△POD的面積等于9時點P的坐標；

（2）當點P在OA上運動時，連結CP．問：是否存在某一時刻t，當CP繞點P旋轉時，點C能恰好落到AB的中點M處？若存在，請求出t的值并判斷此時△CPM的形狀；若不存在，請說明理由；

（3）當點P在AB上運動時，試探索當PO+PD的長最短時的直線PD的表達式。

Answer 1

【答案】（1）（4．5，0）（2，4）（2）存在（3）y=-

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三種情況求解：當0＜t≤6，如圖1，OP=t，根據三角形面積公式得S=2t，再求出S=9所對應的t的值，然后寫出此時P點坐標；當6＜t≤10，如圖2，則AP=t-6，BP=10-t，利用S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD得到S=-t+21，再求出S=9所對應的t的值，然后寫出此時P點坐標；當10＜t＜13，如圖3，則PB=13-t，根據三角形的面積公式得S=-2t+26，由于S=9時，計算出t=7．5，而7．5不合題意故舍去；

（2）如圖4，E點為AB的中點，根據旋轉的性質得PC=PE，在Rt△POC中，利用勾股定理得PC2=t2+42；在Rt△PAE中，利用勾股定理得到PE2=（6-t）2+22，則t2+42=（6-t）2+22，解方程得t=2．

（3）根據對稱性找到P點的對稱點P1，找到D點，然后求出D點的坐標，再根據待定系數法求出解析式．

試題解析：（1）∵矩形OABC的頂點A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點，

∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，

當點P在OA上運動時，即0＜t≤6，如圖1，OP=t，S=t4=2t；

∵S=9，

∴2t=9，解得t=4．5，

∴此時P點坐標為（4．5，0）；

當點P在AB上運動時，即6＜t≤10，如圖2，AP=t-6，BP=10-t，S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD

=4×6-4×3-6（t-6）-3（10-t）

=-t+21；

∵S=9，

∴-t+21=9，解得t=8，

∴此時P點坐標為（2，4）；

當點P在BD上運動時，即10＜t＜13，如圖3，PB=13-t，S=（13-t）4=-2t+26；

∵S=9，

∴-2t+26=9，解得t=7．5（不合題意舍去）；

（2）存在．

如圖4，E點為AB的中點，

∵CP繞點P旋轉時，點C能恰好落到AB的中點，

∴PC=PE，

在Rt△POC中，OC=4，OP=t，

∴PC2=OP2+OC2=t2+42，

在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，

∴PE2=PA2+AE2=（6-t）2+22，

∴t2+42=（6-t）2+22，解得t=2，

即當t=2s時，當CP繞點P旋轉時，點C能恰好落到AB的中點處．

（3）y=-