Question

【題目】如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連接CC′交斜邊于點(diǎn)E，CC′的延長線交BB′于點(diǎn)F．
（1）證明：△ACE∽△FBE；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關(guān)系時(shí)，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′，

∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，

∴∠ACC′=∠ABB′，

又∵∠AEC=∠FEB，

∴△ACE∽△FBE

（2）解：當(dāng)β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．

在△ACC′中，

∵AC=AC′，

∴∠ACC′= = =90°﹣α，

在Rt△ABC中，

∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，

∴∠BCE=α，

∵∠ABC=α，

∴∠ABC=∠BCE，

∴CE=BE，

由（1）知：△ACE∽△FBE，

∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE，

又∵CE=BE，

∴△ACE≌△FBE

【解析】（1）欲證△ACE∽△FBE，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等，即∠AEC=∠FEB，此時(shí)，再證∠AC′C=∠ABB′即可．（2）欲證△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需證明CE=BE，由已知可證∠ABC=∠BCE=α，即證β=2α?xí)r，△ACE≌△FBE．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS），以及對(duì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，了解①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．