Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，連接OD，過點D作⊙O的切線，交AB延長線于點E，交AC于點F．
（1）求證：OD∥AC；
（2）當AB=10，時，求AF及BE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）若要證明OD∥AC，則可轉化為證明∠C=∠ODB即可.
（2）連接AD，首先利用已知條件可求出BD的長，再證明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出AF及BE的長．
試題解析：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∴∠C=∠ODB.
∴OD∥AC.
（2）如圖，連接AD，
∵AB為直徑，∴AB⊥BD.∴∠ADC=90°.
∵AB=10，，∴BD=AB•cos∠ABC=.∴AD=.
∵DF是圓的切線，∴OD⊥DF.∴∠ODF=90°.
∵AC∥OD，∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD，
∴，即，解得AF=8.
∵OD∥AF，∴，即.
∴BE=．