Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在邊BC上，連接BE、DF，DF交對角線AC于點G，且DE=DG．
（1）求證：AE=CG；
（2）試判斷BE和DF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，

∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，

∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．
解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴=．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴=．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．

【解析】（1）先證∠AED=∠CGD，再證明△ADE≌△CDG，根據全等三角形的對應邊相等即可得出結論；
（2）先證明△AEB≌△CGD，得出對應角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可證出平行線．