Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=7cm，AB=cm。點P從點B出發沿BC方向向點C運動，當點P到點C時，停止運動

（1）如圖2，過點P作PQ⊥BC，PQ交AB于點Q，以PQ為一邊向右側作矩形PQRS，若點R恰好在邊AC上，且滿足QR=2PQ.求BP得值.

（2）以點P為圓心，BP為半徑作圓.

①如圖3，當⊙P與邊AC相切于點E時，求BP的值;

②隨著BP的變化，⊙P與△ABC三邊的公共點的個數也在變化，請直接寫出公共點個數與對應的BP的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當時，⊙P與AB和BC均有2個公共點，與AC無公共點；當時，⊙P與AB和BC均有2個公共點，與AC有1個公共點；當時，⊙P與AB、BC和AC均有2個公共點；當時，⊙P與AB和AC有1個公共點，與BC有2個公共點；當時，⊙P與AB和BC有1個公共點，與AC無個公共點．

【解析】

（1）過點A做AD⊥BC，由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=cm，即可得出AD的長，設BP=PQ=x，根據相似三角形的判定和性質列比例式求解；①過點A做AD⊥BC，連接PE，根據勾股定理求AC，根據AA定理判定△ADC∽△PEC，然后列比例式求解；

解：（1）過點A做AD⊥BC，交QR于點E

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，

∴AD=BD=

在矩形PQRS中RQ∥BC

∴△AQR∽△ABC

∴

設BP=PQ=x，則QR=2x，AE=3-x

∴

解得：x=

∴BP=

（2）①過點A做AD⊥BC，連接PE

由（1）可知，BD=AD=3

∴CD=BC-BD=7-3=4

∴在Rt△ADC中，

∵⊙P與邊AC相切于點E

∴∠ADC=∠PEC=90°

又∵∠C=∠C

∴△ADC∽△PEC

∴

設BP=PE=x

∴

解得：x=

∴BP=

（3）由AB=，BC=7，(2)中BP=可知

當時，⊙P與AB和BC均有2個公共點，與AC無公共點；

當時，⊙P與AB和BC均有2個公共點，與AC有1個公共點；

當時，⊙P與AB、BC和AC均有2個公共點；

當時，⊙P與AB和AC有1個公共點，與BC有2個公共點；

當時，⊙P與AB和BC有1個公共點，與AC無個公共點．