Question

如圖，正方形ABCD中，邊長為，點P是射線DC上的動點，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N
（1）當點P與C、D重合時，DM+BN的值分別為______
（2）當點P不與C、D重合時，試猜想DM²+BN²的值，并對你的猜想加以證明．

Answer 1

解：（1）當點P與C重合時：DM+BN=BD，

∵正方形ABCD中，邊長為，
∴BD==2，
即DM+BN=2；
點P與D重合時，DM=0，BN=AB=，
∴DM+BN=；
∴當點P與C、D重合時，DM+BN的值分別為2，．
故答案為：2，；

（2）DM²+BN²=2．
證明：∵DM⊥AP，BN⊥AP，
∴∠DMA=∠ANB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAM+∠BAN=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠BAN，AD=AB，
∴△ADM≌△BAN，
∴AM=BN，
即DM²+BN²=DM²+AM²=AB²=2．
分析：（1）首先根據題意作圖，可得當點P與C重合時：DM+BN=BD，點P與D重合時，DM=0，BN=AB=，繼而求得當點P與C、D重合時，DM+BN的值；
（2）首先證得△ADM≌△BAN，即可證得AM=BN，則可得DM²+BN²=AB²，又由正方形ABCD中，邊長為，求得答案．
點評：此題考查了正方形的性質與直角三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意等量代換知識的應用．