Question

【題目】如圖，拋物線y= +bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）D是y軸正半軸上的點，OD=3，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，
①試說明EF是圓的直徑；
②判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y= +bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，﹣3），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= ﹣2x﹣3；

（2）解：按照題意畫出圖形，如下圖，

①∵B點坐標（3，0）、C點坐標（0，﹣3），

∴OB=OC=3，

∴△BOC為等腰直角三角形，

∴∠CBO=45°，

又∵D是y軸正半軸上的點，OD=3，

∴△BOD為等腰直接三角形，

∴∠OBD=45°，

∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，

即∠FBE=90°，

∴EF是圓的直徑．

②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），

∴∠AEF=∠AFE=45°，

∴∠FAE=90°，AE=AF，

∴△AEF是等腰直角三角形．

【解析】（1）用待定系數法可以求出拋物線的解析式；
（2）①根據B,C兩點的坐標得出OB=OC=3，從而判斷出△BOC為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質知∠CBO=45°，進而判斷出△BOD為等腰直接三角形，從而得出∠OBD=45°，∠FBE=90°，根據圓周角定理得出EF是圓的直徑；②根據∠CBO=∠OBD=45°，及在同圓中，同弧所對的圓周角相等得∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO，從而得出∠AEF=∠AFE=45°，然后根據三角形內角和及等角對等邊得出∠FAE=90°，AE=AF，從而得出結論。
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．