Question

【題目】如圖，直線l：y=x+m與x軸交于A點，且經過點B（﹣，2）．已知拋物線C：y=ax2+bx+9與x軸只有一個公共點，恰為A點．

（1）求m的值及∠BAO的度數；

（2）求拋物線C的函數表達式；

（3）將拋物線C沿x軸左右平移，記平移后的拋物線為C1，其頂點為P．

平移后，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點D能否落在拋物線C1上？

如能，求出此時頂點P的坐標；如不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=3，∠BAO=30°；（2）y=（x+3）2；（3）能，P的坐標為（21，0）．

【解析】

試題分析：（1）將B的坐標代入直線l的解析式即可求出m的值，求出直線l的解析式后，設直線l與y軸交于點C，求出C的坐標后利用銳角三角函數即可求出∠BAO的度數；（2）由題意知：拋物線必定過（0，9），拋物線與x軸只有一個公共點A，即A點是拋物線的頂點，所以可以設拋物線的頂點式y=a（x+3）2，將（0，9）代入頂點式即可求出a的值；（3）設P的坐標為（h，0），由題意知，點P不能在A的左側，所以點P在A的右側，由于點P與D關于AB對稱，且點D的坐標在拋物線C1上，所以求出D的坐標后，代入拋物線C1的解析式即可求出h的值．

試題解析：（1）把B（﹣，2）代入y=x+m，∴2=﹣1+m，∴m=3，∴直線l的解析式為y=x+3，設直線l與y軸交于點C,令x=0代入y=x+3，∴y=3，∴C的坐標為（0，3），令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴A的坐標為（﹣3，0），∴OC=3，OA=3，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=30°；（2）令x=0代入y=ax2+bx+9，∴y=9,∴拋物線C經過（0，9），又∵拋物線C與x軸只有一個公共點，恰為A點，∴A點是拋物線C的頂點，設拋物線的頂點式為y=a（x+3）2，把（0，9）代入y=a（x+3）2，∴a=，∴拋物線C的解析式為y=（x+3）2；（3）設拋物線C1的解析式為y=（x﹣h）2，當點P在A的左側時，點D一定不在拋物線C1上，此情況不符合題意，當點P在A的右側時，此時，P（h，0）∴AP=h+3，由對稱性可知：AD=AP=h+3，∠DAB=∠PAB=30°，過點D作DE⊥x軸于點E，∴AE=AD=，DE=AE=，∴D的坐標為（，），把D（，）代入y=（x﹣h）2，∴=（）2，∴h=21或h=﹣3，當h=﹣3時，此時P與A重合，此情況不合題意，綜上所述，P的坐標為（21，0）．