Question

如圖，已知點A(−3，5)在拋物線y=x²+c的圖象上，點P從拋物線的頂點Q出發，沿y軸以

每秒1個單位的速度向正方向運動，連結AP并延長，交拋物線于點B，分別過點A、B作x軸的垂線，垂

足為C、D，連結AQ、BQ．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當A、Q、B三點構成以AQ為直角邊的直角三角形時，求點P離開點Q多少時間？

(3)試探索當AP、AC、BP、BD與一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段能構成平行四邊形）時，點P離開點Q的時刻．

 

Answer 1

【答案】

（1）把A（−3，5）代入得：5=´9+c，   

∴c=．

（2）①若AQ⊥BQ，過點Q作MN⊥y軸，

可證△AMQ∽△QNB．

∵AM=AC−MC=，MQ=3，

∴．

設B（3k，2k+），

代入拋物線解析式得：k=，即B（，）．

∴直線AB的解析式為：．

∴OP=，∴PQ=2．

②若AQ⊥AB，

∵AC∥PQ，可證△AMQ∽△QAP，

又由勾股定理得AQ=．

∴PQ=．

∴對應的時刻t為：2或．

（3）①若AC=BD，AP=BP，

此時點A與點B關于y軸對稱，

∴OP=AC=5，

∴PQ=4．

②若AC=AP，

設P（0，y），則：9+(y−5)²=25，

解之得，y=1，即OP=1．

∴PQ=．

此時，直線AP解析式為：．

與拋物線的交點B為（，），

∴PB==BD．

          ∴滿足條件的時刻為：和4．

【解析】（1）把A點坐標代入就得到拋物線的解析式；

（2）分AQ⊥BQ, AQ⊥AB兩種情況進行討論；

（3）分AC=BD、AC=AP兩種情況進行討論。