Question

【題目】如圖，CD和BE是△ABC的兩條高，∠BCD=45°，BF=FC，BE與DF、DC分別交于點G、H，∠ACD=∠CBE．

（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；

（2）小明說：BH的長是AE的2倍．你認為正確嗎？請說明理由．

（3）若BG=n2+1，GE=n2﹣1，求BH的長．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，理由見解析；（2）正確，理由見解析；（3）BH=4n．

【解析】

試題分析：（1）由CD和BE是△ABC的兩條高，于是得到∠A=∠ACD+∠A=90°，于是得到∠ABE=∠ACD，由于∠ACD=∠CBE，折疊∠ABE=∠CBE，通過△BAE≌△BCE，根據全等三角形的性質得到BA=BC，于是得到結論；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到BD=DC證得△BDH≌△CDA，根據全等三角形的性質得到BH=AC，根據直角三角形的性質得到AC=2AE，BH=2AE，即可得到結論；

（3）連接GC，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：（1）∵CD和BE是△ABC的兩條高，

∴∠A=∠ACD+∠A=90°，

∴∠ABE=∠ACD，

∵∠ACD=∠CBE，

∴∠ABE=∠CBE，

∵∠BEA=∠BEC=90°，

在△BAE與△BCE中，，

∴△BAE≌△BCE，

∴BA=BC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，

∴BD=DC，

∵∠BDH=∠CDA=90°，

在△BDH與△CDA中，，

∴△BDH≌△CDA，

∴BH=AC，

∵BE⊥AC，

∴AC=2AE，

BH=2AE，

∴小明說的正確；

（3）連接GC，則GC=BG=n2+1，

在Rt△GEC中，

CE2=GC2﹣GE2=（n2+1）2﹣（n2﹣1）2=4n2，

∴CE=2n，

∴AC=2CE=4n，

∴BH=4n．