Question

【題目】如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，點、、分別為線段，，上的一點，以為直角頂點的等腰直角三角形，，連結．

（1）當與點重合時，求的長．

（2）當時，求的面積．

（3）①比較與的面積大小關系，并說明理由．

②當的面積為6時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，理由見解析；②

【解析】

（1）依據等腰三角形的性質與勾股定理可以求得，依據三角形中等角對等邊，可得是等腰三角形，依據等腰三角形三線合一的性質，可得；

（2）過點作于點，依據等角的余角相等，可用AAS證明≌，依據全等三角形的性質可得高為，再用求出底邊，最后用三角形面積公式可求的面積；

（3）①設全等的和的對應邊，，則可用、表示出兩個三角形的面積，可依據三角形等角對等邊的性質，得到,從而得到、間的關系，將這個關系代入兩個面積中，即可發現它們相等；

②當的面積為6時，可得到關于、的等式，再結合，可解出、，代入中即可.

解：（1）∵是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，，

∴,,

∴,,

∴，

∴，同理,

如下圖，當與點重合時，

∵以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴,,

∴,

∴,

又∵，

∴；

（2）如下圖，過點作于點，

又∵，

∴,

又∵,

∴,,

∴,

又∵，,

∴≌（AAS），

∴,

又∵，，,

∴，，

∴的面積=．

（3）①與的面積相等，理由如下：

如下圖，過點作于點，則，，

又∵,

∴,

∴,

∴,

由（2）知≌，

∴設，，

∴，，

∴，，,

又∵，,

∴,即，，

，，

∴，，

∴；

②∵，，

∴，，

∴，

∴.