Question

如圖，甲、乙兩人分別從A(1，)、B(6，0)兩點同時出發，點O為坐標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．
(1)請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行．
(2)當t為何值時，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s＝MN²，求s與t之間的函數關系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

解：(1)∵A坐標為(1，)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。
∵甲達到O點時間為t＝，乙達到O點的時間為t＝，
∴甲先到達O點，所以t＝或t＝時，O、M、N三點不能連接成三角形。
①當t＜時，OM＝2－4t，ON＝6－4t，
假設MN∥AB。則△OMN∽△OAB。
∴，解得t＝0。即在甲到達O點前，只有當t＝0時，△OMN∽△OAB。
∴MN與AB不可能平行。
②當＜t＜時，
如圖，

∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB
∴MN與AB不平行。
綜上所述，在甲、乙兩人到達O點前， MN與AB不可能平行。
(2) 由（1）知，當t≤時，△OMN不相似△OBA。
當t＞時，OM＝4t －2，ON＝4t －6，
由解得t＝2＞，
∴當t＝2時，△OMN∽△OBA。
(3)①當t≤時，如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，
∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，
∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。
∴s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28。
②當＜t≤時，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，
NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t²－32t＋28。
③當t＞時，同理可得s＝16t²－32t＋28。
綜上所述，s＝16t²－32t＋28。
∵s＝16t²－32t＋28＝16(t－1)²＋12，
∴當t＝1時，s有最小值為12，
∴甲、乙兩人距離最小值為（km）。

反證法，坐標與圖形性質，平行的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形外角性質，勾股定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，二次函數的最值。
(1)用反證法說明．根據已知條件分別表示相關線段的長度，根據三角形相似得比例式說明。
(2)根據兩個點到達O點的時間不同分段討論解答。
(3)在不同的時間段運用相似三角形的判定和性質分別求解析式，運用函數性質解答問題。