Question

【題目】直線∥，一圓交直線a，b分別于A、B、C、D四點，點P是圓上的一個動點，連接PA、PC.

(1)如圖1，直接寫出∠PAB、∠PCD、∠P之間的數量關系為　 　 ；

(2)如圖2，直接寫出∠PAB、∠PCD、∠P之間的數量關系為　 　

(3)如圖3，求證：∠P＝∠PAB+∠PCD；

(4)如圖4，直接寫出∠PAB、∠PCD、∠P之間的數量關系為 　 　.

Answer 1

【答案】（1）∠PCD＝∠P+∠PAB；（2）∠PAB＝∠P+∠PCD；（3）見解析；（4）∠PAB+∠P+∠PCD＝360°.

【解析】

(1)方法一：設AB、PC相交于點E，由外角性質得：∠PEB＝∠P+∠PAB，又因為a∥b，所以∠PEB＝∠PCD，從而求解；方法二：過點P作PE∥AB；

（2）方法一：設AP、CD相交于點E，理由同（1）得∠PED＝∠P+∠PCD，又因為a∥b，所以∠PED＝∠PAB，從而求解；方法二：過點P作PE∥AB；

(3) 過點P作PE∥a，因為a∥b，所以PE∥b，所以∠PAB=∠APE，∠∠PCD =∠EPC，

又因為∠APC=∠APE+∠CPE，所以∠APC＝∠PAB+∠PCD；

(4) ∠PAB+∠P+∠PCD＝360°. 過點P作PE∥a，因為a∥b，所以PE∥b，所以∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，即∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°，從而求解；

解 ：（1）∠PCD＝∠P+∠PAB；

理由：設AB、PC相交于點E，由外角性質得：∠PEB＝∠P+∠PAB，

∵a∥b，∴∠PEB＝∠PCD，

∴∠PCD＝∠P+∠PAB；

（2）∠PAB＝∠P+∠PCD；

理由：設AP、CD相交于點E，理由同（1）得∠PED＝∠P+∠PCD，

又∵a∥b，∴∠PED＝∠PAB，

∴ ∠PAB＝∠P+∠PCD ；

（3）過點P作PE∥a，∵a∥b，∴PE∥b，

∴∠PAB=∠APE，∠∠PCD =∠EPC，

∵∠APC=∠APE+∠CPE

∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；；

(4) ∠PAB+∠P+∠PCD＝360°

理由：過點P作PE∥a，∵a∥b，∴PE∥b，

∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°

∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°

即∠PAB+∠APC+∠PCD＝360°.