Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90° ,AC=BC=4 點D是邊AB上的動點(點D與點A、B不重合)，過點D作DE⊥AB交射線BC于點E，聯結AE,點F是AE的中點，過點D、F作直線，交AC于點G,聯結CF、CD.

(1)當點E在邊BC上，設DB=, CE=

①寫出關于的函數關系式及定義域；

②判斷△CDF的形狀，并給出證明;

(2)如果AE=，求DG的長.

Answer 1

【答案】（1）①y=4-x（0＜x≤2）；②等腰直角三角形；證明見解析；（2）或

【解析】

（1）①先證△DEB為等腰直角三角形，設DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，從而得出答案；②由∠ADE=90°，點F是AE的中點知CF=AF=AE，DF=AF=AE，據此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，結合∠CAB=45°知∠CFD=90°，據此可得答案；

（2）分點E在BC上和BC延長線上兩種情況，分別求出DF、GF的長，從而得出答案．

解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=4，∠B=∠BAC=45°，

又∵DE⊥AB，

∴△DEB為等腰直角三角形，

∵DB=x，CE=y，

∴EB=x，

又∵EB+CE=4，

∴x+y=4，

∴y=4-x（0＜x≤2）；

②∵DE⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ADE=90°，

∵點F是AE的中點，

∴CF=AF=AE，DF=AF=AE，

∴CF=DF，

∵∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD，

∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，

∵∠CAB=45°，

∴∠CFD=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）如圖1，當點E在BC上時，，AC=4，

在Rt△ACE中，CE=，

則AE=2CE，

∴∠CAE=30°，

又CF=DF=AE=，

在Rt△CFG中，GF=，

∴DG=DF+FG=；

如圖2，當點E在BC延長線上時，∠CFD=90°，

同理可得CF=DF=AE=，

在Rt△CFG中，GF=，

∴DG=DF-FG=．