Question

10．已知，點O是等邊△ABC內的任一點，連接OA，OB，OC．
（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC．
①∠DAO的度數是90°
②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數量關系，并證明；
（2）設∠AOB=α，∠BOC=β．
①當α，β滿足什么關系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；
②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據旋轉變換的性質、四邊形內角和為360°計算即可；
②連接OD，根據勾股定理解答；
（2）①將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，連接OO′，根據等邊三角形的性質解答；
②根據等邊三角形的性質計算．

解答 解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
由旋轉的性質可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-60°-90°-120°=90°，
故答案為：90°；
②線段OA，OB，OC之間的數量關系是OA²+OB²=OC²．
如圖1，連接OD．
∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°．
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB．
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°．
∴∠DAO=90°．
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+AD²=OD²．
∴OA²+OB²=OC²．
（2）①如圖2，當α=β=120°時，OA+OB+OC有最小值．
作圖如圖2，
如圖2，將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，連接OO′．
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°．
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等邊三角形．
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°．
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°．
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°．
∴四點B，O，O′，A′共線．
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最小；
②當等邊△ABC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A′B=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、旋轉變換的性質，掌握等邊三角形的三個角是60°、三條邊相等是解題的關鍵．