Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB＝8，∠A＝30°，AC＝8，AC與⊙O交于點D．

（1）求證：直線BD是線段AC的垂直平分線；

（2）若過點D作DE⊥BC，垂足為E，求證：DE是⊙O的切線；

（3）若點F是AC的三等分點，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BF＝．

【解析】

(1)根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形得到BD＝4，AD＝4，于是得到AD＝AC，即可得到結論；

(2)連接OD，根據三角形中位線的性質得到OD∥BC，OD＝BC，推出OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切線；

(3)根據已知條件得到AF＝，求得DF＝，根據勾股定理即可得到結論．

∵(1)∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵直徑AB＝8，∠A＝30°，

∴BD＝4，AD＝4，

∵AC＝8，

∴AD＝AC，

∴直線BD是線段AC的垂直平分線；

(2)連接OD，

∵D，O分別是線段AC，AB的中點，

∴OD∥BC，OD＝BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

(3)∵點F是AC的三等分點，

∴AF＝，

∵AD＝4，

∴DF＝，

∵BD⊥AC，BD＝4，

∴BF＝．