Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，常數b＜0，m＞0，點A、B的坐標分別為(﹣，0)、(m，2m+b)，正方形BCDE的頂點C、D分別在x軸的正半軸上．

(1)直接寫出點D和點E的坐標(用含b、m的代數式表示)；

(2)求的值；

(3)正方形BC′D′E′和正方形BCDE關于直線AB對稱，點C′、D′、E′分別是點C、D、E的對稱點，C′D′交y軸于點M，D′N⊥x軸，垂足為N，連接MN．

①若點N和點A關于y軸對稱，求證：MN＝MD′；

②若，求的值．

Answer 1

【答案】(1)D(3m+b，0)，E(3m+b，2m+b)；(2)2；(3)①證明見解析；②1.

【解析】

（1）利用正方形性質得OA＝-，OC＝m，CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b，OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b；

（2）由AC＝OC﹣OA＝m﹣(﹣)得

（3）①根據正方形和軸對稱性質得∠ND'M＝∠D'NM；

②由，變形，，最后得AD＝3AO，由3m+＝3()

解得：b＝﹣m即可.

解：(1)∵四邊形BCDE是正方形

∴∠ACB＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝90°，BC＝CD＝DE＝BE

∵A(﹣，0)，B(m，2m+b)，

∴OA＝-，OC＝m，CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b

∴OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b

∴D(3m+b，0)，E(3m+b，2m+b)

(2)∵AC＝OC﹣OA＝m﹣(﹣)＝m+

∴

(3)①連接AC'，

∵正方形BC′D′E′和正方形BCDE關于直線AB對稱

∴AC'＝AC，∠AC'B＝∠ACB＝90°

∵正方形BC'D'E'中，∠BC'D'＝90°

∴∠AC'D'＝90°+90°＝180°，即點A、C'、D'在同一直線上

∵點N和點A關于y軸對稱，M在y軸上

∴MN＝MA

∴∠MNA＝∠MAN

∵D'N⊥x軸

∴∠D'NA＝∠D'NM+∠MNA＝90°

∴∠ND'M+∠MAN＝90°

∴∠ND'M＝∠D'NM

∴MN＝MD′

②∵

∴

∴

∴

∴AD2﹣AO2＝8AO2

∴AD2＝9AO2

∴AD＝3AO

∵AD＝OD﹣OA＝3m+b﹣()＝3m+

∴3m+＝3()

解得：b＝﹣m

∴.