Question

（2012•南崗區三模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分線CE⊥AB于點E，BE=2AE．若四邊形AECD的面積為7，則四邊形ABCD的面積為

15

．

Answer 1

分析：延長BA與CD，兩延長線交于點F，由CE垂直于BF，得到一對直角相等，由CE為角平分線得到一對角相等，再由CE為公共邊，利用ASA可得出三角形CFE與三角形CBE全等，由全等三角形的對應邊相等得到CF=CB，且BE=EF，由BE=2AE，得到EF=2AE，即A為EF的中點，由等腰三角形的兩底角相等得到一對角相等，再由兩直線平行得到一對同位角相等，等量代換并利用等角對等邊得到三角形AFD為等腰三角形，且三角形AFD與三角形BFC相似，相似比為1：4，可得出面積之比為1：16，設三角形AFD的面積為x，則三角形BFC的面積為16x，可得出三角形EFC的面積為8x，再由四邊形AECD的面積為7，由四邊形AECD的面積+三角形AFD的面積等于三角形EFC的面積列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出三角形AFD與三角形BFC的面積，用三角形BFC的面積減去三角形AFD的面積，即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：延長BA，延長CD，兩延長線交于點F，如圖所示：
∵CE⊥BF，
∴∠CEF=∠CEB=90°，
∵CE為∠BCD的平分線，
∴∠FCE=∠BCE，
在△FCE和△BCE中，

∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB

，
∴△FCE≌△BCE（ASA），
∴CF=CB，BE=FE，
∴∠F=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠F=∠FAD，
∴△AFD為等腰三角形，
又BE=2AE，
∴EF=2AE，即A為EF的中點，
∴△AFD∽△BFC，且相似比為1：4，
∴S_△AFD：S_△BFC=1：16，
設S_△AFD=x，則S_△BFC=16x，即S_△EFC=8x，
由四邊形AECD的面積為7，得到S_△EFC=x+7，
∴8x=x+7，
解得：x=1，
∴S_△AFD=1，S_△BFC=16，
則四邊形ABCD的面積S=S_△BFC-S_△AFD=15．
故答案為：15

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．