Question

【題目】（1）（問題情境）

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①，在△ABC中，AD是△ABC的中線，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：

Ⅰ.由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是________．

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

Ⅱ.由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是________．

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中．

（2）（學會運用）

如圖②，AD是 △ABC的中線，點E在BC的延長線上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求證：AE=2AD.

Answer 1

【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）證明見解析.

【解析】

（1）Ⅰ.根據全等三角形的判定定理解答；

Ⅱ.根據三角形的三邊關系定理可得ABBE＜AE＜AB＋BE，結合BE=AC可確定AE的取值范圍，易得AD的取值范圍；

（2）首先延長AD至M，使DM＝AD，先證明△ABD≌△MCD，進而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再證明△ACM≌△ACE，即可證明結論．

解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故選：B；

Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC，

∵ABBE＜AE＜AB＋BE，

∴AB AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，

∴1＜AD＜9，

故答案為：1＜AD＜9；

（2）延長AD至M，使DM＝AD，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝CD，

在△ABD和△MCD中，，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，

∵AB＝CE，

∴CM＝CE，

∵∠BAC＝∠BCA，

∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，

在△ACE和△ACM中，，

∴△ACM≌△ACE（SAS），

∴AE＝AM，

∵AM＝2AD，

∴AE＝2AD．