Question

【題目】.如圖 1，在平面直角坐標系中，A 、B 在坐標軸上，其中 A(0， a) ，B(b， 0)滿足| a 3 | 0．

（1）求 A 、 B 兩點的坐標；

（2）將 AB 平移到CD ， A 點對應點C(2， m) ， DE 交 y 軸于 E ，若ABC 的面積等于13，求點 E 的坐標；

（3）如圖 2，若將 AB 平移到CD ，點 C、D 也在坐標軸上，F 為線段 AB 上一動點，（不包括點 A ，點B) ，連接OF 、FP 平分BFO ，BCP 2PCD，試探究COF，OFP ，CPF 的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）E的坐標為（0，）；（3）∠COF+∠OFP=3∠CPF．

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出a、b，得到答案；
（2）構造矩形，根據三角形的面積是13，利用割補法求出m，再根據平移的性質，求出直線DC的解析式，則可求出點E的坐標；
（3）作HP∥AB交AD于H，OG∥AB交FP于G，設∠OFP=x，∠PCD=y，根據平行線的性質、三角形的外角的性質計算即可．

解：（1）由題意得，a-3=0，b-4=0，
解得，a=3，b=4，
則A（0，3），B（4，0）；

（2）如圖1所示，

∵ABC的面積等于13，根據A，B，C三點的坐標，

可得：，（m<0）

解得，m=-2，
則點C的坐標為（-2，-2），
根據平移規律，則有點D的坐標為（2，-5），
設直線CD的解析式為：y=cx+d，

，解得，

∴CD的解析式為：，

∴CD與y軸的交點E的坐標為（0， ）；

（3）如圖2所示，作HP∥AB交AD于H，OG∥AB交FP于G，

設∠OFP=x，∠PCD=y，
則∠BFP=x，∠PCB=2y，
∵HP∥AB，OG∥AB，
∴∠HPC=∠PCD=y，∠OPF=∠OFP=x，
∴∠CPF=x+y，
又∵∠COF=∠PCB +∠CPF +∠OFP =2y+（x+y）+ x =2x+3y，
∴∠COF+∠OFP=3x+3y=3∠CPF．