Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當點Q在DC邊上時，探究PB與PQ所滿足的數量關系；
小明同學探究此問題的方法是：
過P點作PE⊥DC于E點，PF⊥BC于F點，
根據正方形的性質和角平分線的性質，得出PE=PF，
再證明△PEQ≌△PFB，可得出結論，他的結論應是
（2）如圖2，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）PB=PQ
（2）證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】解：（1）結論：PB=PQ，

理由：過P作PF⊥BC，PE⊥CD，

∵P，C為正方形對角線AC上的點，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四邊形PECF為正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，

∴∠BPF=∠QPE，

在△PEQ和△PFB中，

，

∴Rt△PQE≌Rt△PBF，

∴PB=PQ；

所以答案是PB=PQ．

【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和正方形的性質的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．