Question

10．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，點M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB的最小值是9，則AB的長是（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 4.5

Answer 1

分析 連接BD，得出△ABD是等邊三角形，由于菱形的對角線互相垂直平分，所以PD=BP，連接MD，由等邊三角形的性質可知DM⊥AB，再根據∠ADM=30°即可求出AB的長．

解答 解：如圖所示，連接DP，則根據菱形的對角線互相垂直平分，可得PD=BP，
當點M，P，D三點共線時，BP+MP=DP+MP=DM=9（最短），
連接BD，根據∠BAD=60°，可得△ABD是等邊三角形，
∵點M是AB的中點，
∴DM⊥AB，
∴∠ADM=30°，
∵AM=$\frac{DM}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=2AM=6$\sqrt{3}$，
∴AB=6$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題是最短線路問題，考查的是菱形的性質以及等邊三角形的性質在綜合應用，由菱形的性質得出點D是點B關于AC的對稱點是解答此題的關鍵．