Question

18．如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線，以O為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G．
（1）求證：直線PE是⊙O的切線；
（2）在圖2中，設PE與⊙O相切于點H，連結AH交PO于點D，已知PA=6，tan∠EAH=$\frac{2}{3}$．
①求⊙O的半徑；
②求EH的長．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線；
（2）①利用同角的余角相等得出，∠APO=∠EAH，再用銳角三角函數即可求出半徑OA=4，
③先判斷出，△EHG∽△EAH得出的比例式，用EH表示AE，EG，用AG=AE-EG建立方程即可求出EH即可．

解答 證明：（1）如圖1，

作OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分線，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO和△PHO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHP=∠OAP}\\{∠OPH=∠OPA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA是⊙O的半徑，
∴OH是⊙O的半徑，
∴直線PE是⊙O的切線；
（2）①如圖2，∵∠PAO=90°，
∴PA切⊙O于A，
∵PE與⊙O相切于點H，
∴PA=PH=6，
∵PO是△APE的角平分線，
∴PO⊥AH，
∴∠APO+∠PAH=90°，
∵∠EAH+∠PAH=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH=$\frac{2}{3}$．
∴tan∠APO=$\frac{2}{3}$．
在Rt△APO中，AP=6，tan∠APO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
∴OA=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2}{3}$×6=4，
②由①知，OA=4，
∴AG=2OA=8，
∵PE是⊙O的切線，
∴∠EHG=∠EAH，
∵∠HEG=∠AEH，
∴△EHG∽△EAH，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{GH}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
在Rt△AHG中，tan∠EAH=$\frac{GH}{AH}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{EG}{EH}=\frac{2}{3}$，
∴EG=$\frac{2}{3}$EH，AE=$\frac{3}{2}$EH，
∵AE-EG=AG=8，
∴$\frac{3}{2}$EH-$\frac{2}{3}$EH=8，
∴EH=$\frac{48}{5}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是求出圓的半徑，是一道中等難度的中考常考題．