Question

【題目】如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．

(1)當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

(2)當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是請給出證明，

(3)在(2)的條件下，求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN．

Answer 1

【答案】（1）(1)CD=BE．理由見解析；（2）△AMN是等邊三角形．理由見解析；（3）4:16:7

【解析】試題分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，然后根據全等三角形的對應邊相等，得到CD=BE．（2）可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，則AB=2a，則AB=2a；（3）根據已知條件分別求得△AMN的邊長，因為△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長的平方的比，據此解答即可．

(1)CD=BE．理由如下：　

∵△ABC和△ADE為等邊三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o．

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

∴△ABE ≌ △ACD．

∴CD=BE．

(2)△AMN是等邊三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分別是BE、CD的中點，

∴BM= ．

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o．

∴△AMN是等邊三角形．

(3) 設AD=a，則AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC，

∴CE=DE．

∵△ADE為等邊三角形，

∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，

∴∠EDC=∠ECD=30o，

∴∠ADC=90o.

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ，

∴ CD= ．

∵N為DC中點，

∴，

∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN=