Question

【題目】已知：點為圖形上任意一點，點為圖形上任意一點，若點與點之間的距離始終滿足，則稱圖形與圖形相離．

（1）已知點、、、．

①與直線相離的點是 ；

②若直線與相離，求的取值范圍；

（2）設直線、直線及直線圍成的圖形為，⊙的半徑為，圓心的坐標為，直接寫出⊙與圖形相離的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A、C；②b的取值范圍是b>﹣1或b<﹣7；（2）t的取值范圍是：t＜或t＞或＜t＜．

【解析】

（1）①將A，B，C，D四個點的坐標依次代入直線解析式，不在直線上的點即為符合題意的點；

②當直線y＝3x+b經過點A和點C時計算b的值，進而可得答案；

（2）分三種情形：如圖1，當⊙T位于直線AC右側，且與直線AC相切于點H，利用解直角三角形的知識求出TD，進而可得點T的坐標，從而可得t的取值范圍；如圖2，當⊙T位于直線左側，且與直線AB相切于點H，同理求出點T的坐標即得t的取值范圍；③如圖3，分⊙T位于直線AC左側，且與直線AC相切、⊙T與AB相切，且位于直線AB的右側時兩種情況，分別求出點T的坐標即得t的取值范圍，從而可得結果．

解：（1）①∵點A（1，2），

∴當x＝1時，3﹣5＝﹣2，

∴點A不在直線y＝3x﹣5上，

同理，點C（2，﹣1）不在直線y＝3x﹣5上，點B（0，﹣5），點D（3，4）在直線上，

∴與直線y＝3x﹣5相離的點是A，C；

故答案為：A，C；

②當直線y＝3x+b過點A（1，2）時，則3+b＝2，∴b＝﹣1．

當直線y＝3x+b過點C（2，﹣1）時，則6+b＝﹣1，∴b＝﹣7．

∴b的取值范圍是b＞﹣1或b＜﹣7；

（2）①如圖1，圖形W為△ABC，直線與y軸交于點A，與x軸交于點D，

令x＝0，y＝3，令y＝0，x＝，

∴OA＝3，OD＝，

∴∠OAD＝30°，∠ADO＝60°，

當⊙T位于直線AC右側，且與直線AC相切于點H，連接TH，則TH⊥DH，

∵∠TDH＝∠ADO＝60°，TH＝1，

∴DT＝，

∴OT＝OD+DT＝，∴T（，0），

∴當t＞時，⊙T與圖形W相離；

②如圖2，當⊙T位于直線左側，且與直線AB相切于點H，連接TH，直線AB與x軸交于點E，

同理可得，TE＝，OE＝，

∴OT＝，∴T（﹣，0），

∴當t＜﹣時，⊙T與圖形W相離；

③如圖3，當⊙T位于直線AC左側，且與直線AC相切時，

同理可得TD＝，OD＝，

∴OT＝OD﹣TD＝，∴T（，0），

當⊙T與AB相切，且位于直線AB的右側時，同理可得T（﹣，0），

∴當﹣＜t＜時，⊙T與圖形W相離．

綜上：⊙與圖形相離時，t的取值范圍是：t＜或t＞或＜t＜．