Question

【題目】如圖，點是直角三角形斜邊上一動點（不與點，重合），作直線，分別過點，向直線作垂線，垂足分別為，，為斜邊的中點.

（1）如圖1，當點與點重合時，與的位置關系是______，與的數量關系是______；

（2）如圖2，當點在線段上（不與點重合）時，試猜想與的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當點在線段的延長線上時，此時（2）中的結論是否仍成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF，（2）QE=QF，證明見解析；（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，證明見解析.

【解析】

（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ即可得出答案；

（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；

（3）延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可

（1）如圖1，

當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是AE=BF，

理由：

∵Q為AB的中點，

∴AQ=BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，

在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ（AAS），

∴QE=QF，

（2）

QE=QF，

證明：如圖2，延長EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF；

（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，

證明：延長EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ=∠BDQ，

在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°，

∴QE=QF．