Question

【題目】四邊形是菱形，，

（1）如圖1，作的平分線，交于（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，點在直線上，最大值時，求的長

（3）如圖2，，分別是線段，上的動點，，求四邊形周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）

【解析】

（1）根據角平分線尺規作圖的方法作圖即可；

（2）先在直線OP上任取一點P，根據OD是AB的垂直平分線，根據PA=PB得出PC－PB<BC，得出當P、B、C三點共線的時候最大，結合等腰三角形三線合一以及三角函數即可求出OP的長

（3）先證明△ABE≌△OBF，得到AE=OF，可得四邊形周長等于2BE+OA，可得出當BE最短時，四邊形周長最小，再根據垂線段最短，可得當BE垂直AO時，BE最短，再根據三角函數求出此時BE的長

解：（1）作圖如下：

（2）如圖：在直線OD上任取一點P，連接PA、PB、PC

∵是菱形，

∴∠OAB=60°，∠AOB=120°

∴；

∴△AOB為等邊三角形

∵OD平分∠AOB

∴OD⊥AB，且D為AB中點；

∴OD為AB的垂直平分線

∴PA=PB

∴

∴當P、B、C三點共線時，有最大值，即有最大值

如下圖，延長CB交OD于P，點即為所求

∵∠OBC=60°

∴∠OBP=120°

又∵∠DOB=30°

∴∠OPD=30°

∴OB=PB

∵OD⊥AB

∴D為OP中點

在Rt△OBD中，OB=6，∠DOB=30°

∴

∴OP=2OD=

即：當OP=時，有最大值

（3）如圖，連接EF

∵由（1）知△AOB為等邊三角形

∴∠ABO=∠ABE+∠EBO=60°

∵∠EBF=∠OBF+∠EBO=60°

∴∠ABE=∠OBF

在△ABE與△OBF中

∴△ABE≌△OBF（ASA）

∴BE=BF，AE=OF

∵四邊形周長=BE+BF+OF+OE=2BE+AE+OE=2BE+OA

∵OA=OB=6

∴四邊形周長=2BE+6

∴當BE最小時，四邊形周長最小

∴當BE⊥OA時，BE最短

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=6

∴

∴四邊形周長最小值是

故答案為：