Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△ADE以DE為軸翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：如圖1

，

作DM⊥拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，n），由翻折的性質(zhì)，可得AD=DG，

∵A（﹣4，0），C（0，8），點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，4），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4），DM=1﹣（﹣2）=1+2=3，

∵B（6，0），C（0，8），

∴AC= =4 ，

∴AD=2 ，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2

32+（4﹣n）2=20，解得n=4 ，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）

解：存在．

C（0，8），D（﹣2，4），符合條件的點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為：

①如圖2

，

CD∥EF，且CD=EF，CDEF時(shí)，對角線的交點(diǎn)（﹣ ，4），E1（﹣1，0），F(xiàn)1（1，4）；

②如圖3

，

CD∥EF，且CD=EF，CDFE時(shí)，對角線的交點(diǎn)（ ，2），E2（3，0），F(xiàn)2（1，﹣4）；

③如圖4

，

DE∥CF，DE=CF，DECF時(shí)，對角線的交點(diǎn)（﹣1，6），E3（﹣3，0），F(xiàn)3（1，12）．

綜上所述：E1（﹣1，0），F(xiàn)1（1，4）；E2（3，0），F(xiàn)2（1，﹣4）；E3（﹣3，0），F(xiàn)3（1，12）

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AC的長，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得DG的長，再根據(jù)勾股定理，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得答案．
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．