Question

【題目】讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明。已知:如圖,E是BC的中點,點A在DB上,且

∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD

分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質,觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等。因此,要證明AB=CD,必須添加適當的輔助線,構造全等三角形或等腰三角形。現給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進行證明。

圖(1):延長DE到F使得EF=DE

圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F

圖(3):過C點作CF∥AB交DE的延長線于F.

Answer 1

【答案】選擇（1）（3）證明，證明見解析

【解析】

如圖(1)延長DE到F使得EF=DE,證明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,結合題干條件即可得到結論;如圖3,過C點作CF∥AB交DE的延長線于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,結合題干條件即可得到結論,

如圖(1)延長DE到F使得EF=DE

在△DCE和△FBE中,

∴△DCE≌△ FBE（SAS)

∴.∠CDE=∠F,BF=DC

∵∠BAB=∠CDE

∴BF=AB

∴AB= CD

如圖3,過C點作CF∥AB交DE的延長線于F

在△ABE和△FCE中

∴△ABE≌△ FCE(ASA),

∴AB=FC

∵∠BAE=∠CDE

∴∠F=∠CDE

∴CD=CF

∴AB=CD